۳-۸- مدل GARCH-M[58]

تا به حال در معادله میانگین حضور نداشت مثل:
اما در بسیاری موارد واریانس یا نیز در معادله میانگین حضور پیدا می کند. در واقع بین دارایی ها آنکه نوسانات و ریسک بیشتری دارد باید همراه با بازدهی بیشتر باشد تا در بازار معامله شود. پس خود بازدهی دارایی (Y) تابع واریانس یا می شود. پس این مدل به شکل زیر است:
در بحث بالا واریانس را مستقیماً وارد مدل میانگین (M=MEAN) کردیم اما به عنوان نوسانات می توان از انحراف معیار(Standard Deviation) یا حتی لگاریتم آن استفاده کرد.

۳-۹- بررسی وجودآثار ARCH در سری زمانی

برای تعیین اینکه آیا آثار ARCH در پسماندهای مدل میانگین تخمین زده شده وجود دارد یا خیر، آزمون زیر انجام می پذیرد:
۱٫ابتدا یک رگرسیون خطی را در نظر می گیریم و باقیمانده های این رگرسیون() را محاسبه می کنیم.
۲٫برای آزمون وجود فرآیند ARCH از مرتبه ی q، جملات باقیمانده را به توان ۲ رسانده و آنها را روی q وقفه قبل از خودشان رگرس می کنیم. به صورت زیر:
سپس ( ضریب تعیین) را برای این رگرسیون محاسبه می کنیم.
۳٫آماره را برای رگرسین بالا محاسبه می کنیم به طوری که T در این آماره برابر با تعداد مشاهدات است. این آماره دارای توزیع( با درجه آزادی q) می باشد.
۴٫آزمون فرضیه در این حالت به صورت زیر است:
بنابراین فرضیه صفر را برای معناداری ضرایب معادله بالا آزمون می کنیم. اگر مقدار آماره آزمون بزرگتر از مقدار بحرانی توزیع باشد، آنگاه فرضیه صفر رد می شود. چنانچه فرضیه صفر رد شود می توان نتیجه گرفت که فرایند ARCH وجود دارد. آزمونی که در این بخش توضیح دادیم، به آزمون انگل معروف است و اولین بار در سال ۱۹۸۲ معرفی شد.[۵۹].

۳-۱۰- روش تخمین [۶۰] GMM

روش GMM[61]یا روش تعمیم یافته گشتاورها، تعمیم روش گشتاورها در آمار است که به طرز بهینه ای از گشتاورها استفاده می کند.
این روش می تواند بسیاری از موارد نقض فروض کلاسیک و نیز ایرادات دیگر مدل را بر طرف نماید. در واقع به همین دلیل است که امروزه یکی از روشهای قابل اتکا در مقالات و پروژهها همین روش GMM است. علاوه بر اینکه این روش قادر به برطرف کردن مشکلاتی از قبیل واریانس ناهمسانی و یا خود همبستگی از نوع ناشناخته است، در مواردی که توزیع جمله خطا غیر متداول باشد نیز قادر خواهد بود که پارامترها را به خوبی تخمین بزند.
به سادگی می توان نشان داد که تمام روش های مرسوم برآورد نظیر OLS, GLS, MLE, 2SLS حالت خاصی از روش GMM می باشند که به ازای انتخاب محدودتر ابزارها برای گشتاورسازی حاصل می شوند. اساس روش GMM این است که نمونه گشتاورهایی دارد که میتواند تخمینزن گشتاورهای جامعه محسوب گردد. قضیه آماری قانون اعداد بزرگ برای حد احتمال و نیز قضیه حد مرکزی امکان استنتاج از گشتاور نمونه به جامعه را فراهم می کنند. نقطه مهم قوت این روش در این است که مستقل از توزیع جمله خطا می باشد.
اگر نماد کلی را برای نشان دادن گشتاورهای نمونهای استفاده کنیم، حد احتمال گشتاور نمونه برابر گشتاور جامعه خواهد بود و از این رو از گشتاور نمونه به عنوان تخمین زن گشتاور جامعه استفاده می شود. در واقع حد احتمال گشتاورهای نمونه ای برابر ثابت هایی مثل می شوند که تابع K پارامتر میباشد.
اساس روش GMM این است که مجموع مجذورات گشتاورها را حداقل نماید. اگر شماره گشتاور با i نشان داده شود، این روش در واقع به دنبال حداقل نمودن عبارت زیر است:
که L تعداد گشتاورها را نشان می دهد. اگر واریانس گشتاورها همسان نباشند در این صورت به جای عبارت بالا، عبارت زیر حداقل می شود:
که واریانش گشتاور iام را نشان می دهد. می توان گفت که به زبان ماتریسی با فرم مربع زیر مواجه هستیم:
ماتریس وسط را که به گشتاورها وزنی معکوس پراکندگی آن ها می دهد، می توان با W نشان داد و از این رو داریم:
لذا باید از این رابطه نسبت به پارامترهای مشتق گرفته و این رابطه را حداقل کرد.

۳-۱۱- انتخاب متغیرهای ابزاری

در حالت کلی هیچ راهنمایی واضحی در راتباط با انتخاب ابزارها وجود ندارد و ابزارها ممکن است که به سادگی بدست نیایند. با این حال ابزارها اغلب به واسطه ی در دسترس بودن انتخاب می شوند. یک شرط در انتخاب ابزار این است که هیچ ارتباط مستقیمی میان ابزارها و متغیر وابسته وجود نداشته باشد.
با این حال برونزا بودن ابزارها می تواند یکی از معیارهای معتبر بودن آن ها به حساب آید. ولی توجه به این نکته مهم است که یافتن ابزارهای برونزا کار ساده ای نیست. متأسفانه خواص آماری تخمین زن های IV و فرآیندهای استنتاجی حتی در نمونه های بزرگ بر اعتبار ابزارها استوار است. به این دلیل است که پژوهشگرانی که در حال مطالعه مسئله مشابهی هستند ولی ابزارهای متفاوتی بکار می برند ممکن است که به نتایج متفاوتی دست پیدا کنند.
با این وجود نه تنها انتخاب ابزار مهم است بلکه ضعیف نبودن ابزار خود مسئله مهمی است. یافته های اخیر در حوزه اقتصاد سنجی نشان می دهد که وجود ابزار های ضعیف قثط دقت تخمین های IV را کاهش نمی دهد، بلکه منجر به اریب داری و ناسازگاری در تخمین زن ها نیز خواهد گردید.[۶۲]