فصل اول

پیشگفتار

امروزه آنالیز و طراحی سازه های ژئوتکنیکی عمدتاً توسط نرم در این نرم افزارها که عموماً شرایط آنالیز را بصورت دو بعدی (کرنش صفحه ای) در نظر گرفته می شود، محیط سازه ژئوتکنیک به تعداد زیادی المان تقسیم می شود بندی می گردد. نهایتاً با اعمال شرایط مرزی آنالیز ها انجام می گیرد و مقادیر تنش ها و کرنش ها محاسبه می گردد.
ضعف عمده روش هایی که بر اساس شبکه بندی آنالیز را انجام می دهند اینست که با هر تغییری در هندسه مساله، لازم است که شبکه بندی دوباره انجام گیرد و این امر کاری زمان بر می باشد و علاوه بر وقت بیشتر، پیچیدگی کار را زیاد می افزارهای المان محدود انجام می گیرد.
کند و از دقت نتایج می کاهد. از جمله ضعفهای دیگر این روشها می توان به دقت کم در محاسبه تنشها، بخصوص در مورد پدیده های پیچیده ای مانند گسترش ترک و یا تغییر فاز (به دلیل ناپیوستگی های شدید) اشاره کرد. علاوه بر این روشهایی که برای باز تولید شبکه (Re-mesh) استفاده می شوند تنها درفضای مسایل دو بعدی کاربرد دارند و در مسایل سه بعدی به دلیل ضعف تکنیکی قابل کاربرد نیستند. هنگامی که با تغییر شکل های بزرگ سر و کار داریم دقت قابل توجهی را از دست می دهیم زیرا المان ها اعوجاج پیدا می کنند. دیگر اینکه شبیه سازی مواد شکننده به چند جز بسیار مشکل است، المانهای محدود اساسا بر طبق مکانیک محیط های پیوسته می باشد که براساس فرمول بندی مکانیک محیط های پیوسته المان ها نمی توانند بشکنند. که این معمولاً منجر به ارایه غلط مسیر شکست می شود. وخطای جدی امکان رخ دادن دارد، زیرا طبیعت مسئله غیر خطی بوده و بشدت نتایج وابسته به مسیر می باشد. با توجه به مسایل فوق محققین همواره به دنبال راهکارهایی بوده اند که بتوانند بر مشکلات ناشی از شبکه بندی را بر طرف کنند و بر دقت و سرعت محاسبات بیافزایند.
روشهای عددی بدون شبکه یکی از راهکارهایی است که برای دوری از مشکلات مطرح شده در بالا مورد مطالعه قرار گرفته اند. این روشها که مدت زیادی از عمرشان نمی گذرد تا حد زیادی معایب فوق را بر طرف می کند. در روش بدون شبکه دامنه مسئله توسط مجموعه ای از گره هایی که بطور اختیاری (منظم یا نامنظم) پخش می شوند، ارائه می گردد. که این موجب انعطاف پذیری می شود که هر گره در هرزمان و در هرکجا اضافه یا حذف کرد. برای آنالیز تنش یک دامنه جسم بطور مثال برای نواحی که اغلب تمرکز تنش وجود دارد، بدون نگرانی از ارتباط بین گره ها آزادانه نقاطی را به ناحیه تمرکز تنش اضافه کرد.
روشهای مختلفی از روش بدون شبکه (بدون مش) وجود دارند که عبارتند از :
 
جدول ۱-۱ – برخی از روشهای توسعه یافته بدون المان و ویژگی آنها
۱ – ۲ – روال حل مسئله[۱]
روال حلی که برای مسایل مهندسی در FEM و MFree وجود دارد را می توان با استفاده ازچارت ۲٫۱ بطور مختصر دید. این دو روش در مرحله ی تولید المان با هم اختلاف دارند. تفاوت اساسی بین این دو روش در ساختن توابع شکل می باشند. در روش المان های محدود توابع شکل معمولاٌ پیش از شروع آنالیز المان های محدود، پیش تعریف شده می باشند. در حالی که ساختن توابع شکل در روش بدون شبکه در حین آنالیز انجام می پذیرد نه پیش از شروع آنالیز. وقتی که معادلاتی برای سیستم مجزا شده کلی نوشته می شود، روش بدون المان و روش اجزای محدود روالی شبیه به هم پیدا می کنند به جز یک سری تفاوت های کوچک.
۱ – ۳ – مدل کردن هندسه[۲]
سازه های واقعی، مولفه ها و دامنه ها، عموماً بسیار پیچیده هستند و باید بطور قابل مدیریتی هندسه آنها کاهش پیدا کنند. در اجزای محدود بخش های انحنا دار از هندسه و مرزهای آنها را می توان با استفاده از المان های با درجه بالا مدل کرد. الگوریتم زیر نحوه کار در دو روش گفته شده را شرح می دهد:
ایجاد کردن هندسه
تولید گره
تولید مش المان
ساختن توابع شکل براساس گره های موجود در دامنه موضعی
ساختن توابع شکل بر اساس المان های پیش تعریف شده
معادلات سیستم برای گره ها
معادلات سیستم برای المان ها
سرهم کردن ماتریس های کلی
شرایط مرزی ضروری
تعیین کردن تکیه گاه ها
محاسبه کردن جابجایی ها
محاسبه کرنش ها و تنش ها
ارزیابی نتایج حاصله
شکل ۱-۱- الگوریتم روال کار روش های اجزای محدود و روش بدون شبکه.
در شکل زیر بصورت شماتیک شکلی را در دو روش نشان می دهد.
 
الف – نحوه المان بندی دامنه مساله مورد بررسی در روش اجزای محدود
 
ب- نحوه تعیین دامنه مساله مورد بررسی در روش بدون شبکه
شکل ۱-۲- المان بندی و گره بندی پهنه جسم در روشهای اجزای محدود و بدون شبکه(Liu,2002).
۱-۴- معادلات سیستم مجزا[۳]
اساساً چهار قانون برای بدست آوردن این معادلات وجود دارد:
۱- قانون کار مجازی: مانند اصل هامیلتون، اصل حداقل انرژی پتانسیل کل و …
۲- دومین قانون براساس روش های باقیمانده می باشد و در حقیقت فرم کلی قانون که می تواند برای استخراج معادلات در FEM برای جامدات، سازه ها و جریان سیالات استفاده می شود.

نمودار (۴-۲) میزان خیز تیر در دو روش RPIM و حل دقیق در حالت دوم
۴-۲- حل مساله سنگ درزه دار ژیانگ
در این بخش مساله سنگ درزه داری که شامل پنج دسته درزه افقی در عمق های مختلف می باشد و توسط ژیانگ۱۹۹۹ حل گردیده با روش RPIM حل شده و جواب برای مقدار جابجایی قائم نرمال شده در زیر بار (پی) با جواب جابجایی قائم نرمال شده زیر بار در مقاله مقایسه گردیده است.
۴-۲-۱- هندسه مساله
دامنه مساله مورد بررسی دارای ۱۰۰ متر طول و ۶۰ متر عمق می باشد که در هر ۱۰ متر از عمق یک درزه افقی سرتاسری موجود می باشد. درزه ها دارای فاصله ثابت ۱۰ متر از یکدیگر بوده و بار گسترده ۱۰۰۰ پاسگال یک متری(که میتواند بار ناشی از یک پی باشد) بر دامنه مساله وارد می گردد. در شکل (۴-۲) هندسه مساله و موقعیت بار وارده نشان داده شده است
X
۱ متر
درزه ۱
۱۰ متر
درزه ۲
درزه ۳
۶۰ متر
درزه ۴
درزه ۵
راستای دورشدگی از مبدا مختصات
X
۱۰۰ متر
Y
درزه
شکل(۴-۲) هندسه مثال دوم
۴-۲-۲- نحوه ی توزیع گره ها و تشکیل سلول پس زمینه در دامنه مساله
در این تحقیق دامنه مساله بصورت منظم گره گذاری شده است بطوریکه فاصله بین هر گره دو متر بوده که تعداد کل آنها برای مساله مورد بررسی ۱۵۸۱ گره می باشد. قابل ذکر است که گره بر روی مرز خارجی درزه قرار داده شده است. در واقع لایه درزه بصورت یک لایه واسطه است که با توجه با ضخامت کم آن یک شبکه یک بعدی برای آن تعریف و گره گذاری می کنیم. برای اینکه بتوانیم از معادلات حاکم انتگرال گیری کنیم باید دامنه مساله سلول بندی شود که ما شبکه پس زمینه را با سلول های دو متر در دو متر تشکیل دادیم که تعداد کل آن برابر ۶۰۰ سلول است. پس از آن درون هر سلول نقاط گوسی را تعیین می کنیم. که در مساله مورد بررسی ما در هر راستای سلول دونقطه گوسی تعریف می کنیم یعنی
هر سلول دارای چهار نقطه گوسی می باشد. بنابراین ما در کل دامنه مساله ۶۰۰۰ نقطه گوسی داریم. که این تعداد نقطه گوسی ارضا کننده شرطی است که در کتاب آقای لیو آورده شده که تعداد نقاط گوسی حداقل باید (۲/۳) تعداد کل گره های میدانی باشد. قابل ذکر است که دو روش برای تشکیل شبکه پس زمینه وجود دارد. روش اول ایجاد المان های پس زمینه است که در آن شبکه پس زمینه مطابق روش مرسوم در روش المانهای محدود ایجاد می گردد. به گونه ای که مطابق شکل (۴-۳-الف) رئوس شبکه همان گره های تشکیل شده هستند. روش دوم استفاده از سلول است(شکل ۴-۳-ب)، که یک ساختار متفاوت از ساختار مساله می تواند داشته باشد. سپس وجود یا عدم وجود نقطه انتگرال گیری در داخل دامنه مساله مکنرل می شود که در صورت عدم وجود نقطه انتگرال گیری از آن صرف نظر می شود. در این تحقیق ار روش دوم استفاده گردیده است.نکته قابل توجه آنست که هیچ گونه ارتباطی بین شبکه پس زمینه و توابع شکل گره ها وجود ندارد و علت وجودی شبکه فقط برای امر انتگرال گیری می باشد.
 
شکل(۴-۳) ایجاد شبکه توسط (الف) – المانهای پس زمینه (ب) سلول پس زمینه.
(Belytschko, et al. 1999)
۴-۲-۳- تشکیل دامنه تکیه گاهی
پس از ایجاد شبکه پس زمینه و معرفی نقاط گوسی وقت آن می رسد که برای هر نقطه گوسی یک دامنه تکیه گاهی تشکیل داد. ما برای حل مساله خود شکل دامنه تکیه گاهی را دایره در نظر گرفتیم که شعاع آن شش متر می باشد.
اندازه دامنه تکیه گاهی بر اساس رابطه زیر معین می گردد :
(۴-۵)
که در این رابطه ضریب بدون بعد دامنه تکیه گاهی می باشد که با توجه به متن کتاب آقای لیو برای بسیاری از مسایل مهندسی مقادیر بین دو تا سه ( ۲ ~ ۳) منجر به نتایج قابل قبولی می گردد که ما در این تحقیق مقدار دو را برگزیدیم. و فاصله بین دو گره مجاور می باشد و چون ما گره ها را بصورت منظم در کل دامنه مساله پخش کرده ایم و فاصله ی هر گره دو متر است مقدار این ضریب برای مساله ما یک بوده بنابراین بعد دامنه تکیه گاهی ما دو در نظر گرفته شده است. لازم به ذکر است که باید بعد دامنه تکیه گاهی به گونه ای باشد که حداقل پنج و حداکثر ۳۰ گره در دامنه تکیه گاهی هر نقطه گوسی قرار گیرد چراکه بیشتر شدن از ۳۰ گره علاوه بر بیشتر شدن حجم محاسبات از دقت جواب می کاهد. که حداقل و حداکثر گره های قرار گرفته در دامنه تکیه گاهی هر نقطه گوسی ما با توجه به بعد دامنه تکیه گاهی، ۹ و ۱۸ می باشد که در رده ی قابل قبول گفته شده قرار می گیرد.
قابل ذکر است برای در نظر گرفتن دامنه تکیه گاهی نقاط گوسی نزدیک ناپیوستگی (درزه) از ضابطه رویت[۶۹] بلیچکو استفاده شده است که همانند شکل (۴-۴) است.
 
شکل (۴-۴) نحوه تعیین دامنه تکیه گاهی با استفاده از ضابطه رویت بلیچکو ۱۹۹۹٫
۴-۲-۴- انتخاب تابع شعاعی اساسی
همان طور که در جدول (۳-۱) آورده شده است توابع شعاعی مختلفی برای انتخاب وجود دارد. ما در این تحقیق از تابع اول یعنی Multi-quadrics(MQ) بهره گرفتیم. یعنی :